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Curso de cálculo diferencial de Aimé Bergeron. Manuscrito de 1851 |
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Descripción del
contenido El
curso consta de cuatro lecciones: La lección primera (MS, págs. 1--6)
empieza con las definiciones de variable, función y variable independiente.
La definición de función corresponde a la de Euler, de aceptación y
uso en la matemática europea contemporánea. La notación funcional y su
representación gráfica cartesiana, así como las definiciones de funciones
continua, explícita e implícita y de límite aparecen en una sección titulada Reprecentacion jeometrica
de las funciones de una sola variable. En la misma se indica que el
límite
vale 1 cuando
cuando
suponiendo que x
aumenta indefinidamente. Se acerca a cero, [pues] se tiene
i para que se tenga
siendo
tiene límite cero. En el mismo tiempo
todas las veces que x creciendo, se vuelve igual a un multiple de la circunferencia se tiene sen x = 0 y
la razón
pasa por cero cambiando de signo." Siguen la noción de
igualdad de límites y las de infinitésimos e infinitos. En la sección
titulada Orijen del calculo diferencial,
se le da como tal a la construcción de tangentes a una curva plana, y en la
siguiente (Objeto del calculo diferencial), se da la definición de
derivada y se calculan las derivadas de las funciones
La
sección concluye con una discusión de la noción de diferencial. La lección
segunda (MS, págs. 7-11) empieza con la sección Determinacion
del sentido en que varia una funcion segun el signo de la derivada y aplica ésta, en la
segunda sección, al estudio de la función
para obtener sus máximos y sus mínimos. Se demuestra que si la
derivada de una función es nula entre dos valores de la variable, entonces la
función es constante, y recíprocamente. También, que si dos funciones
difieren por una constante, tienen la misma diferencial y la misma derivada.
Las secciones siguientes se dedican a calcular las derivadas de una función
de función, de la suma y diferencia de funciones, del producto de dos o más
funciones, del cociente de dos funciones y de la potencia fraccionaria de una
variable. La última sección, muy corta, explica cómo calcular la derivada de
funciones de la forma, donde i es la unidad imaginaria. La
primera sección de la lección tercera (MS, págs. 13-18), llamada Aplicacion del calculo á la determinacion
de curvas que tienen ciertas propiedades, enseña en casos particulares
cómo determinar lugares geométricos representados por ecuaciones
diferenciales. En la segunda sección, se consideran funciones de los tipos,
donde u, v y w son funciones de la variable real x,
y se calculan las respectivas formas diferenciales:
La
tercera sección de esta lección empieza el estudio de las series. La
convergencia o divergencia de series se define en términos de la existencia o
no del límite de la sucesión de sumas parciales. Se demuestra que la serie
geométrica sólo converge si el valor absoluto de su razón es menor que 1. Se
establece en seguida que una condición necesaria para que una serie sea
convergente es que el llamado residuo de la serie tienda a cero. Los criterios
de convergencia explicados incluyen el de comparación y el de Leibniz. En la
última sección se estudia la convergencia de las series
La cuarta lección (MS, págs. 19-24) repite parte del
estudio de las series comenzado en la lección anterior, y define al número e
(la constante de Euler) como el
Una de las secciones de esta lección es |
. Usando algo muy
cercanamente correspondiente al simbolismo 
, al que estamos acostumbrados
actualmente, demuestra que
. Transcribimos la parte
pertinente: ``Puede suceder que una cantidad variable al acercarse a su 
una cantidad tan pequeña como se quiera
determinarla; luego
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